Определение перемещений плоских стержневых систем от силовых воздействий

Р е ш е н и е

1. Переобозначаем искомое перемещение:

2. Формула  Максвелла – Мора  для  плоской стержневой системы с учетом изгиба, сдвига и растяжения-сжатия элементов:

4. Вычисление перемещения по формуле Максвелла – Мора:

v K = D1 F   =

Учитывая, что E 1 /G 1 = 2(1+n1 )  (n1 – коэффициент Пуассона),  I 1 =  (здесь r 1 – радиус инерции сечения,  h 1 – высота сечения на участке 1), получаем:

v K =

От изгиба                    От сдвига           От укорочения стойки

Для  количественной оценки вклада каждого вида деформации в определяемое перемещение рассмотрим случай, когда ригель и стойка изготовлены из одного материала ( E 1 = E 2. G 1 = G 2 ):

v K =

Для большинства изотропных материалов  n1 = 0,15 … 0,3;   для сечений от прямо-угольных до двутавровых = 0,3 … 0,45;  = 1,2 … 3,  тогда

v K =

v K =

где второе слагаемое в скобках оценивает суммарный вклад в перемещение v K деформации сдвига (в ригеле) и сжатия стойки.

При обычных пропорциях колонн и ригелей рамных строительных конструкций h 1 / l 1 = 1/8 … 1/15, и тогда доля перемещения за счет сдвига и сжатия в сумме составля-ет 0,25 … 3,4 %  от перемещения, возникающего от деформации изгиба элементов. При этом вклад сдвига в 1,4 … 4 раза превышает вклад сжатия.

       Замечание:  влияние сдвига может существенно возрастать

а) для тонкостенных сечений, у которых коэффициент может быть больше 4 ;

б) в случае анизотропного материала (при больших значениях отношения E /G );

в) при больших поперечных силах  (M /Q

h.  где h – высота сечения), например, при сосредоточенных нагрузках вблизи от опор балки и т.п.

З а д а ч а   2

Использование практических способов вычисления интегралов

в формуле Максвелла – Мора

Способы вычисления интеграла :

Правило Верещагина                                  Формула Симпсона

Условие применимости:                           Условие применимости:

одна из функций (   f 1 ) – линейная,            единое аналитическое выражение