Понятие о туннельном эффекте.

Читайте также:

Туннельным эффектом называют прохождение частиц сквозь потенциальный барьер за счет волновых свойств частиц.

Пусть частица, движущаяся слева направо, встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной l. По классическим представлениям частица беспрепятственно проходит над барьером, если ее энергия E больше высоты барьера (E>U0 ). Если же энергия частицы меньше высоты барьера (E0 ), то частица отражается от барьера и начинает двигаться в обратную сторону, сквозь барьер частица проникнуть не может.

В квантовой механике учитываются волновые свойства частиц. Для волны левая стенка барьера – это граница двух сред, на которой волна делится на две волны – отраженную и преломленную. Поэтому даже при E>U0 возможно (хотя и с небольшой вероятностью) отражение частицы от барьера, а при E0 имеется отличная от нуля вероятность того, что частица окажется по другую сторону потенциального барьера. В этом случае частица как бы «прошла сквозь туннель».

Решим задачу о прохождении частицы сквозь потенциальный барьер для наиболее простого случая одномерного прямоугольного барьера, изображенного на рис.1.6. Форма барьера задается функцией

. (1.7.1)

Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей: 1(x<0 ), 2(0l ):

; (1.7.2)

; (1.7.3)

. (1.7.4)

Обозначим

(1.7.5)

. (1.7.6)

Общие решения уравнений (1), (2), (3) для каждой из областей имеют вид:

; (1.7.7)

; (1.7.8)

. (1.7.9)

Решение вида соответствует волне, распространяющейся в направлении оси x. а - волне, распространяющейся в противоположном направлении. В области 1 слагаемое описывает волну, падающую на барьер, а слагаемое - волну, отраженную от барьера. В области 3 (справа от барьера) имеется только волна, распространяющаяся в направлении x, поэтому .

Волновая функция должна удовлетворять условию непрерывности, поэтому решения (6),(7),(8) на границах потенциального барьера необходимо «сшить». Для этого приравниваем волновые функции и их производные при x=0 и x = l :

; ;

; . (1.7.10)

Используя (1.7.7) - (1.7.10), получим четыре уравнения для определения пяти коэффициентов А1. А2. А3 , В1 и В2 :

А2 еxp(a l) + В2 еxp(-a l)= А3 еxp(ikl) ;

a(А2 еxp(al)–В2 еxp(-al) = ik А3 еxp(ikl) .

Чтобы получить пятое соотношение, введем понятия коэффициентов отражения и прозрачности барьера.

Коэффициентом отражения назовем отношение

. (1.7.12)

которое определяет вероятность отражения частицы от барьера.

Коэффициент прозрачности

(1.7.13)

дает вероятность того, что частица пройдет через барьер. Так как частица либо отразится, либо пройдет через барьер, то сумма этих вероятностей равна единице. Тогда

R+D =1; (1.7.14)

или

. (1.7.15)

Это и есть пятое соотношение, замыкающее систему (1.7.11), из которой находятся все пять коэффициентов.

Наибольший интерес представляет коэффициент прозрачности D. После преобразований получим

. (7.1.16)

где D 0 – величина, близкая к единице.

Из (1.7.16) видно, что прозрачность барьера сильно зависит от его ширины l. от того, на сколько высота барьера U 0 превышает энергию частицы E, а также от массы частицы m .

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при E0 противоречит закону сохранения энергии. Дело в том, что если классическая частица находилась бы в какой-то точке в области барьера (область 2 на рис. 1.7), то ее полная энергия оказалась бы меньше потенциальной энергии (а кинетическая – отрицательной!?). С квантовой точки зрения такого противоречия нет. Если частица движется к барьеру, то до столкновения с ним она имеет вполне определенную энергию. Пусть взаимодействие с барьером длится время Dt. тогда, согласно соотношению неопределенностей, энергия частицы уже не будет определенной; неопределенность энергии . Когда эта неопределенность оказывается порядка высоты барьера, он перестает быть для частица непреодолимым препятствием, и частица пройдет сквозь него.

Прозрачность барьера резко убывает с его шириной (см. табл. 1.1.). Поэтому частицы могут проходить за счет туннельного механизма лишь очень узкие потенциальные барьеры.

Значения коэффициента прозрачности для электрона при (U0 – E) = 5 эВ = const